Ułamki dziesiętne to tak naprawdę inny zapis ułamków zwykłych np.:

  • ułamek trzy dziesiąte możemy zapisać jako $\frac{3}{10}$ lub 0,3;
  • ułamek czterdzieści siedem setnych możemy zapisać jako $\frac{47}{100}$ lub 0,47;
  • ułamek sto siedemnaście tysięcznych możemy zapisać jako $\frac{117}{1000}$ lub 0,117;
    • ale...

    Jak zmienić ułamki zwykłe na dziesiętne?


    Ułamki zwykłe możemy zamienić na ułamki dziesiętne za pomocą dwóch metod.

    Metoda I - rozszerzenie ułamka

    Metoda ta polega na rozszerzeniu ułamka zwykłego, tak aby mianownik po rozszerzeniu był okrągłą wielokrotnością liczby 10 czyli 10, 100, 1000, 10000, itd.

    Przykładowo:

  • ułamek zwykły $\frac{1}{2}$ możemy rozszerzyć, tak by w mianowniku była liczba 10, mnożąc licznik i mianownik razy 5 $$\class{violet}{\frac{1}{2}}= \frac{\class{violet}{1}\cdot \class{red}{5}}{\class{violet}{2}\cdot \class{red}{5}}=\class{violet}{\frac{5}{10}}=\class{violet}{0,5}$$
  • ułamek zwykły $\frac{1}{4}$ możemy rozszerzyć, tak by w mianowniku była liczba 100, mnożąc licznik i mianownik razy 25 $$\class{violet}{\frac{1}{4}}= \frac{\class{violet}{1}\cdot \class{red}{25}}{\class{violet}{4}\cdot \class{red}{25}}=\class{violet}{\frac{25}{100}}=\class{violet}{0,25}$$
  • ułamek zwykły $\frac{3}{5}$ możemy rozszerzyć, tak by w mianowniku była liczba 10, mnożąc licznik i mianownik razy 2 $$\class{violet}{\frac{3}{5}}= \frac{\class{violet}{3}\cdot \class{red}{2}}{\class{violet}{5}\cdot \class{red}{2}}=\class{violet}{\frac{6}{10}}=\class{violet}{0,6}$$
  • ułamek zwykły $\frac{1}{8}$ możemy rozszerzyć, tak by w mianowniku była liczba 1000, mnożąc licznik i mianownik razy 125 $$\class{violet}{\frac{1}{8}}= \frac{\class{violet}{1}\cdot \class{red}{125}}{\class{violet}{8}\cdot \class{red}{125}}=\class{violet}{\frac{125}{1000}}=\class{violet}{0,125}$$
  • ułamek zwykły $\frac{9}{20}$ możemy rozszerzyć, tak by w mianowniku była liczba 100, mnożąc licznik i mianownik razy 5 $$\class{violet}{\frac{9}{20}}= \frac{\class{violet}{9}\cdot \class{red}{5}}{\class{violet}{20}\cdot \class{red}{5}}=\class{violet}{\frac{45}{100}}=\class{violet}{0,45}$$


    • W przypadku ułamków zwykłych niewłaściwych (licznik większy od mianownika) dla ułatwienia zapisania rozwinięcia dziesiętnego możemy policzyć ilość zer w mianowniku ułamka zwykłego i przecinek postawić po tylu cyfrach liczby w liczniku (licząc od prawej strony) ile jest zer.

    Przykładowo:

  • ułamek niewłaściwy $\frac{5}{2}$ możemy rozszerzyć, tak by w mianowniku była liczba 10, mnożąc licznik i mianownik razy 5 $$\class{violet}{\frac{5}{2}}= \frac{\class{violet}{5}\cdot \class{red}{5}}{\class{violet}{2}\cdot \class{red}{5}}=\class{violet}{\frac{25}{10}}$$ w mianowniku jest jedno zero (10), więc przecinek stawiamy po pierwszej cyfrze od prawej strony w liczbie z licznika ( $\underset{\class{yellow}{2}}{2}\class{yellow}{,}\underset{\class{yellow}{1}}{5}$). $$\class{violet}{\frac{5}{2}}=\class{violet}{2,5}$$
  • ułamek niewłaściwy $\frac{19}{4}$ możemy rozszerzyć, tak by w mianowniku była liczba 100, mnożąc licznik i mianownik razy 25 $$\class{violet}{\frac{19}{4}}= \frac{\class{violet}{19}\cdot \class{red}{25}}{\class{violet}{4}\cdot \class{red}{25}}=\class{violet}{\frac{475}{100}}$$ w mianowniku są dwa zera (100), więc przecinek stawiamy po drugiej cyfrze od prawej strony w liczbie z licznika ( $\underset{\class{yellow}{3}}{4}\class{yellow}{,}\underset{\class{yellow}{2}}{7}\underset{\class{yellow}{1}}{5}$). $$\class{violet}{\frac{19}{4}}=\class{violet}{4,75}$$
  • ułamek niewłaściwy $\frac{93}{8}$ możemy rozszerzyć, tak by w mianowniku była liczba 1000, mnożąc licznik i mianownik razy 125 $$\class{violet}{\frac{93}{8}}= \frac{\class{violet}{93}\cdot \class{red}{125}}{\class{violet}{8}\cdot \class{red}{125}}=\class{violet}{\frac{11625}{1000}}$$ w mianowniku są trzy zera (1000), więc przecinek stawiamy po trzeciej cyfrze od prawej strony w liczbie z licznika ( $\underset{\class{yellow}{5}}{1}\underset{\class{yellow}{4}}{1}\class{yellow}{,}\underset{\class{yellow}{3}}{6}\underset{\class{yellow}{2}}{2}\underset{\class{yellow}{1}}{5}$). $$\class{violet}{\frac{93}{8}}=\class{violet}{11,625}$$

    • Aby ustalić czy dany mianownik po rozszerzeniu da pełną wielokrotność liczby 10, możemy podzielić kolejno 10,100,1000 itd. przez mianownik do chwili, gdy wynik dzielenia da liczbę całkowitą bez reszty. Przykładowo: dla mianownika 4 po rozszerzeniu nowym mianownikiem będzie 100 ponieważ 10 nie dzieli się przez 4 bez reszty, dopiero 100 (100:4=25); dla mianownika 8 nowym mianownikiem będzie 1000, gdyż 10 i 100 nie dzielą się bez reszty przez 8, dopiero 1000:8=125.

    Nie zawsze jednak mianownik możemy doprowadzić do okrągłej wielokrotności liczby 10 dlatego, że niektóre ułamki nie posiadają rozwinięcia dziesiętnego skończonego (tak nazywamy zamianę ułamka zwykłego na dziesiętny, gdy możemy zastosować powyższą metodę). Wówczas korzystamy z drugiej metody.

    Metoda II - dzielenie ułamka

    Metoda ta polega na podzieleniu licznika przez mianownik. Możemy ją zastosować w przypadku każdego ułamka zwykłego, ponieważ kreska ułamkowa pomiędzy licznikiem i mianownikiem to nic innego jak znak dzielenia licznika przez mianownik.

    Przykładowo:

  • ułamek zwykły $\frac{1}{8}$ $$\quad \quad \;\; \class{green}{0,125} \; \quad \\
    \overline{\quad\class{violet}{1:8}}\\
    -\quad \;\; 0 \; \quad \quad \quad \\
    \overline {\quad \quad 10 \quad \quad} \\
    -\quad \; 8 \quad \quad \\
    \overline {\quad \quad \;\; 20 \;\; \quad} \\
    -\quad \;\; 16 \;\; \quad \\
    \overline {\quad \quad \quad \;\; 40 \;\; \quad} \\
    -\quad \quad\;\; 40 \;\; \quad \\
    \overline {\quad \quad\quad \; 0 \quad} \\$$

    $$\class{violet}{\frac{1}{8}}=\class{green}{0,125}$$
  • ułamek zwykły $\frac{9}{20}$ $$\quad \quad \; \class{green}{0,45} \; \quad \\
    \overline{\quad \; \class{violet}{9:20}}\\
    -\quad \;\; 0 \; \quad \quad \quad \\
    \overline {\quad \quad 90 \quad \quad} \\
    -\quad \; 80 \; \quad \quad \\
    \overline {\quad \quad \;\; 100 \quad\quad} \\
    -\quad \; 100 \;\; \quad \\
    \overline {\quad \quad\quad 0 \quad} \\$$

    $$\class{violet}{\frac{9}{20}}=\class{green}{0,45}$$

    • Z pewnością zauważyłeś, że ułamki $\frac{1}{8}$ i $\frac{9}{20}$ zamienialiśmy wcześniej metodą rozszerzenia ułamka, więc sam wybierz, która metoda jest dla ciebie łatwiejsza.


    Inne przykłady:

  • ułamek zwykły $\frac{1}{3}$

    $$\quad \quad \quad \class{green}{0,3333…} \\
    \overline {\quad \class{violet}{1 : 3}} \\
    -\quad \quad 0 \; \quad \quad \quad \\
    \overline {\quad \quad \; 10 \quad \quad} \\
    -\quad \;\; 9 \quad \quad \\
    \overline {\quad \quad \;\; 10 \;\; \quad} \\
    -\quad \; 9 \quad \\
    \overline {\quad \quad \; 10 \;\;} \\
    -\quad \;\; 9 \;\; \\
    \quad \overline {\quad \quad \; 10 \;\;} \\
    -\quad \quad\;\; 9 \;\; \\
    \quad\;\overline {\quad \quad 1\;} \\ $$

    $$\class{violet}{\frac{1}{3}}=\class{green}{0,3333…}$$
  • ułamek zwykły $\frac{1}{6}$

    $$\quad \quad \quad \class{green}{0,1666…} \\
    \quad\quad\overline {\quad \class{violet}{1 : 6}\quad\quad} \\
    -\quad \quad 0 \; \quad \quad \quad \\
    \quad \overline { \quad\; 10 \quad \quad} \\
    -\quad \;\;\; 6 \quad \quad \\
    \quad \overline {\quad \quad 40 \;\; \quad} \\
    -\quad \; 36 \quad \\
    \quad \overline {\quad \quad \; 40 \;\quad } \\
    -\quad \;\; 36 \;\; \\
    \quad\overline { \quad \quad \; 40 \;\;} \\
    -\quad \quad\;\; 36 \;\; \\
    \quad\overline {\quad \quad\quad\; 4\;\;} \\ $$

    $$\class{violet}{\frac{1}{6}}=\class{green}{0,1666…}$$
  • ułamek zwykły $\frac{7}{11}$

    $$\quad \quad \quad \class{green}{0,636363…} \\
    \quad \overline {\quad \class{violet}{7 : 11}\quad\quad} \\
    - \quad\;\; 0 \; \quad \quad \quad \quad\\
    \quad\overline { \quad 70 \quad \quad \quad} \\
    -\quad \; 66 \quad\quad \quad\; \\
    \quad\quad\; \overline { \quad\; 40 \;\; \quad}\quad \quad\\
    -\quad 33 \quad\quad \\
    \quad \overline {\quad \; 70 \;\quad } \\
    -\quad \quad 66 \quad\quad \\
    \quad\overline { \quad \quad \; 40 \;\quad} \\
    -\quad \quad\; 33 \;\quad \\
    \quad\quad \overline {\quad \quad \; 70 \;\quad } \\
    -\quad\quad \quad 66 \quad \\
    \quad\quad\;\overline { \quad \quad \; 40 \quad} \\
    -\quad \quad\quad 33 \; \\
    \quad\quad\overline {\quad\quad\; 7\;} \\ $$

    $$\class{violet}{\frac{7}{11}}=\class{green}{0,636363…}$$

    • W powyższych przykładach dzieląc licznik przez mianownik zauważamy, że powtarza się jakaś liczba lub grupa liczb, a dzielenie możemy wykonywać niemal w nieskończoność. Takich ułamków nie zamienimy pierwszą metodą rozszerzenia, możemy tu zastosować wyłącznie drugą metodę.



    Jeśli po przecinku powtarza się jakaś cyfra lub grupa cyfr wówczas zapisujemy ją w nawiasie bez potrzeby jej powtarzania.

  • Zamiast zapisywać:
      $$\class{violet}{\frac{1}{3}}=\class{violet}{0,3333333…}$$ wystarczy zapisać: $$\class{violet}{\frac{1}{3}}=\class{violet}{0,(3)}$$
  • Zamiast zapisywać:
      $$\class{violet}{\frac{1}{6}}=\class{violet}{0,1666666…}$$ wystarczy zapisać: $$\class{violet}{\frac{1}{6}}=\class{violet}{0,1(6)}$$
  • Zamiast zapisywać:
      $$\class{violet}{\frac{7}{11}}=\class{violet}{0,63636363…}$$ wystarczy zapisać: $$\class{violet}{\frac{7}{11}}=\class{violet}{0,(63)}$$

    • Zapisanie po przecinku cyfry lub grupy cyfr ułamka dziesiętnego w nawiasie oznacza okresowość (powtarzalność) w nieskończoność. Dlatego taki ułamek nazywamy ułamkiem okresowym lub ułamkiem dziesiętnym nieskończonym albo rozwinięciem dziesiętnym nieskończonym okresowym. Taki zapis odczytujemy następująco:

  • $\class{violet}{0,(3)}$ - zero przecinek trzy w okresie
  • $\class{violet}{0,1(6)}$ - zero przecinek jeden i sześć w okresie lub jedna dziesiąta i sześć w okresie
  • $\class{violet}{0,(63)}$ - zero przecinek sześćdziesiąt trzy w okresie
  • $\class{violet}{36,14(238)}$ - trzydzieści sześć przecinek czternaście setnych i dwieście trzydzieści osiem w okresie

    •