Dodawanie ułamków

Jak dodawać ułamki o takich samych (wspólnych) mianownikach?

Dodawanie ułamków mających taki sam mianownik, który nazywamy również wspólnym mianownikiem jest niezwykle proste. Wystarczy, że dodamy liczniki ułamka, a mianownik pozostawimy bez zmian. W przypadku, gdy dodajemy liczby lub liczbę mieszaną może istnieć konieczność zamiany jej na ułamek niewłaściwy.

Przykład 1. $$ \huge{\frac{\class{moro}{1}}{\class{violet}{5}}+\frac{\class{orange}{3}}{\class{violet}{5}}= \frac{\class{moro}{1}+\class{orange}{3}}{\class{violet}{5}}=\frac{\class{violet}{4}}{\class{violet}{5}}}$$ Przykład 2. $$ \huge{\frac{\class{moro}{3}}{\class{violet}{8}}+\class{orange}{2}\frac{\class{orange}{6}}{\class{violet}{8}}= \frac{\class{moro}{3}+\class{orange}{22}}{\class{violet}{8}}=\frac{\class{violet}{30}}{\class{violet}{8}}=\class{violet}{3}\frac{\class{violet}{6}}{\class{violet}{8}}}$$ Zobacz jak zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy Przykład 3. $$ \huge{\class{violet}{-}\frac{\class{moro}{1}}{\class{violet}{3}}+\frac{\class{orange}{2}}{\class{violet}{3}}= \frac{\class{moro}{-1}+\class{orange}{2}}{\class{violet}{3}}=\frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{3}}}$$ Dodając ułamek ujemny (mniejszy od zera) znak minus przenieś do licznika.

Jak dodawać ułamki o różnych mianownikach?

Dodawanie ułamków mających różne mianowniki nie jest tak proste jak dodawanie ułamków ze wspólnym mianownikiem. Jednak sposobów dodawania jest kilka i zobaczysz, że możesz to zrobić równie szybko.

Szybki sposób dodawania ułamków

Ta metoda najlepiej się sprawdza gdy liczniki i mianowniki dodawanych ułamków są niewielkie.

Licznik obliczamy następująco: Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i dodajemy pomnożony licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego.
Mianownik obliczamy następująco: Mnożymy mianownik pierwszego ułamka razy mianownik drugiego ułamka.

Przykład 1.$ \Huge{\frac{\class{moro}{1}}{\class{violet}{3}}+\frac{\class{orange}{2}}{\class{blue}{5}}= \frac{\class{moro}{1}\cdot\class{blue}{5}+\class{orange}{2}\cdot\class{violet}{3}}{\class{violet}{3}\cdot\class{blue}{5}}= \class{violet}{\frac{5+6}{15}}= \class{violet}{\frac{11}{15}} }$

Przykład 2.$ \Huge{\frac{\class{moro}{3}}{\class{violet}{4}}+\class{orange}{2}\frac{\class{orange}{1}}{\class{blue}{2}}= \frac{\class{moro}{3}}{\class{violet}{4}}+\frac{\class{orange}{5}}{\class{blue}{2}}= \frac{\class{moro}{3}\cdot\class{blue}{2}+\class{orange}{5}\cdot\class{violet}{4}}{\class{violet}{4}\cdot\class{blue}{2}}= \class{violet}{\frac{6+20}{8}}= \class{violet}{\frac{26}{8}} }$ Ułamek można zredukować (uprościć). Największy wspólny dzielnik dla licznika i mianownika to 2. $ \Huge{\class{violet}{\frac{26/2}{8/2}}= \class{violet}{\frac{13}{4}}=\class{violet}{3\frac{1}{4}} }$ Zobacz jak zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy Zobacz jak obliczyć największy wspólny dzielnik (NWD)

Przykład 3. Istnieje czasem potrzeba dodania więcej niż dwóch ułamków z różnymi mianownikami. Wówczas postępujemy podobnie jak wyżej z tą różnicą, że do obliczania licznika sumujemy iloczyny licznika każdego ułamka razy mianowniki pozostałych ułamków.
$ \Huge{\frac{\class{moro}{1}}{\class{violet}{3}}+\frac{\class{orange}{2}}{\class{blue}{5}}+\frac{\class{yellow}{3}}{\class{green}{4}}= \frac{\class{moro}{1}\cdot\class{blue}{5}\cdot\class{green}{4}+\class{orange}{2}\cdot\class{violet}{3}\cdot\class{green}{4}+\class{yellow}{3}\cdot\class{violet}{3}\cdot\class{blue}{5}}{\class{violet}{3}\cdot\class{blue}{5}\cdot\class{green}{4}}}$
$ \Huge{= \class{violet}{\frac{20+24+45}{60}}= \class{violet}{\frac{89}{60}}= \class{violet}{1\frac{29}{60}} }$

Prosty sposób dodawania ułamków

Tą prostą metodę możemy wykorzystać wyłącznie w przypadku, gdy mianownik jednego ułamka jest wielokrotnością mianownika drugiego ułamka.

Sprawdzamy czy mianownik o wyższej wartości jest podzielny bez reszty przez mianownik o niższej wartości tzn. czy wynikiem dzielenia jest liczba całkowita większa od 0. Jeżeli tak, wówczas licznik ułamka z niższym mianownikiem ustalamy mnożąc go razy wynik wcześniejszego dzielenia. Mianownikiem wspólnym będzie wyższy mianownik.

Przykład 1.$ \Huge{\frac{\class{violet}{6}}{\class{violet}{25}}+\frac{\class{violet}{17}}{\class{violet}{50}} }$
Jak widzimy mianownik 50 dzieli się bez reszty przez mianownik 25. Czyli możemy skorzystać z naszej metody. Wynikiem dzielenia jest 2.
Teraz rozszerzamy ułamek z mniejszym mianownikiem tak, aby doprowadzić do wspólnego mianownika. W tym celu licznik i mianownik tego ułamka mnożymy razy otrzymany wcześniej wynik dzielenia.
$ \Huge{\frac{\class{violet}{6}\cdot\class{yellow}{2}}{\class{violet}{25}\cdot\class{yellow}{2}}+\frac{\class{violet}{17}}{\class{violet}{50}}= \class{violet}{\frac{12}{50}+\frac{17}{50}}= \class{violet}{\frac{12+17}{50}}= \class{violet}{\frac{29}{50}} }$
Przykład 2.$ \Huge{\frac{\class{violet}{29}}{\class{violet}{90}}+\frac{\class{violet}{13}}{\class{violet}{30}} }$
W tym przykładzie mianownik 90 dzieli się bez reszty przez mianownik 30. Wynikiem dzielenia jest 3.
Teraz rozszerzamy ułamek z mniejszym mianownikiem tak, aby doprowadzić do wspólnego mianownika. W tym celu licznik i mianownik tego ułamka mnożymy razy 3.
$ \Huge{\frac{\class{violet}{29}}{\class{violet}{90}}+\frac{\class{violet}{13}\cdot\class{yellow}{3}}{\class{violet}{30}\cdot\class{yellow}{3}}= \class{violet}{\frac{29}{90}+\frac{39}{90}}= \class{violet}{\frac{68}{90}}= \class{violet}{\frac{34}{45}} }$

Rozszerzanie ułamka polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez taką samą liczbę całkowitą różną od zera.

Jak wiemy każda liczba pomnożona przez jeden w wyniku daje tą samą liczbę. Więc rozszerzenie ułamka nie wpływa w konsekwencji na wynik działania.

Tradycyjny sposób dodawania ułamków

Ta metoda polega na ustaleniu najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) wszystkich mianowników. Wykorzystuj ją dopiero wtedy, gdy nie możesz zastosować dwóch wcześniejszych metod lub gdy znasz NWW mianowników.

Przykład 1.$ \Huge{\frac{\class{moro}{7}}{\class{violet}{12}}+\frac{\class{orange}{21}}{\class{blue}{30}} }$

Obliczmy najmniejszą wspólną wielokrotność dla mianowników 12 oraz 30. Ponieważ jest kilka metod na obliczenie NWW pominiemy tutaj wyjaśnienia jak to obliczyć. Sprawdź jak obliczyć najmniejszą wspólna wielokrotność. NWW dla liczb 12 oraz 30 wynosi 60.

Teraz możemy skorzystać z powyższego wzoru, wiedząc, że:

$ \Huge{NWW(\class{violet}{12},\class{blue}{30})=\class{yellow}{60} }$
A więc:
$ \Huge{\frac{\class{moro}{7}\cdot(\class{yellow}{60}\div\class{violet}{12})+\class{orange}{21}\cdot(\class{yellow}{60}\div\class{blue}{30})}{\class{yellow}{60}}= \frac{\class{moro}{7}\cdot\class{violet}{5}+\class{orange}{21}\cdot\class{violet}{2}}{\class{yellow}{60}} }$
$ \Huge{=\frac{\class{violet}{35}+\class{violet}{42}}{\class{yellow}{60}}=\frac{\class{violet}{77}}{\class{yellow}{60}}= \class{violet}{1\frac{17}{60}} }$

Przykład 2.$ \Huge{\frac{\class{moro}{1}}{\class{violet}{4}}+\frac{\class{orange}{5}}{\class{blue}{14}} }$
$ \Huge{NWW(\class{violet}{4},\class{blue}{14})=\class{yellow}{28} }$
$ \Huge{\frac{\class{moro}{1}\cdot(\class{yellow}{28}\div\class{violet}{4})+\class{orange}{5}\cdot(\class{yellow}{28}\div\class{blue}{14})}{\class{yellow}{28}}= \frac{\class{violet}{7}+\class{violet}{10}}{\class{yellow}{28}}=\frac{\class{violet}{17}}{\class{violet}{28}} }$