Pierwiastkowanie ułamków

Obliczając pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, musimy znaleźć taką liczbę b, która podniesiona do n-tej potęgi w wyniku da liczbę podpierwiastkową a.

$$ \class{violet}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{moro}{a}}}=\class{green}{b}$$ ponieważ $$\class{green}{b}^{\class{orange}{n}}=\class{moro}{a}$$ gdzie
$ \class{moro}{a}$-liczba podpierwiastkowa
$ \class{orange}{n}$-stopień pierwiastka

Pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia) zapisujemy bez podawania stopnia pierwiastka $ \class{violet}{\sqrt[\class{orange}{2}]{\class{moro}{a}}}$=$ \class{violet}{\sqrt[\class{orange}{}]{\class{moro}{a}}}$.

Przykład 1. $$ \class{violet}{\sqrt[]{4}=2}, \text{ bo } \class{violet}{2^2=4} $$ Przykład 2. $$ \class{violet}{\sqrt[]{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}}, \text{ bo } \class{violet}{\biggl(\frac{3}{5}\biggr)^2=\frac{9}{25}} $$ Przykład 3. $$ \class{violet}{\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}}, \text{ bo } \class{violet}{\biggl(\frac{3}{2}\biggr)^3=\frac{27}{8}=3\frac{3}{8}} $$ Przykład 4. $$ \class{violet}{\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}}, \text{ bo } \class{violet}{\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^4=\frac{1}{16}} $$ Przykład 5. $$ \class{violet}{\sqrt[5]{\frac{32}{243}}=\frac{2}{3}}, \text{ bo } \class{violet}{\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^5=\frac{32}{243}} $$

Uwaga! Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Rozwiązanie istnieje w zbiorze liczb zespolonych. Pierwiastek taki jest tzw. liczbą urojoną.
Z liczb ujemnych możemy obliczyć pierwiastki stopnia nieparzystego.

Przykład 1. $$ \class{violet}{\sqrt[]{-4}\not=-2}, \text{ bo } \class{violet}{(-2)^2\not=-4} $$ Przykład 2. $$ \class{violet}{\sqrt[]{-\frac{9}{25}}\not=-\frac{3}{5}}, \text{ bo } \class{violet}{\biggl(-\frac{3}{5}\biggr)^2\not=-\frac{9}{25}} $$ Przykład 3. $$ \class{violet}{\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}}, \text{ bo } \class{violet}{\biggl(-\frac{3}{2}\biggr)^3=-\frac{27}{8}=-3\frac{3}{8}} $$ Przykład 4. $$ \class{violet}{\sqrt[4]{-\frac{1}{16}}\not=-\frac{1}{2}}, \text{ bo } \class{violet}{\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)^4\not=-\frac{1}{16}} $$ Przykład 5. $$ \class{violet}{\sqrt[5]{-\frac{32}{243}}=-\frac{2}{3}}, \text{ bo } \class{violet}{\biggl(-\frac{2}{3}\biggr)^5=-\frac{32}{243}} $$


Tożsamości, właściwości i działania na pierwiastkach.

Pierwiastek możemy zapisać w postaci potęgi

$$ \class{violet}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{moro}{a}}}=\class{violet}{\class{moro}{a}^\frac{1}{\class{orange}{n}}} $$ $$ \class{violet}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{moro}{a}^{\class{yellow}{m}}}}= \class{violet}{\class{moro}{a}^\frac{\class{yellow}{m}}{\class{orange}{n}}} $$

Pierwiastek z iloczynu możemy zamienić na iloczyn pierwiastków

$$ \class{violet}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{moro}{a}\class{green}{b}}}=\class{violet}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{moro}{a}}}\cdot\class{violet}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}} $$

Pierwiastek z ilorazu możemy zamienić na iloraz pierwiastków

$$ \class{violet}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\frac{\class{moro}{a}}{\class{green}{b}}}}= \class{violet}{\frac{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{moro}{a}}}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}}} $$ dla $$ \class{violet}{\class{green}{b}\not=0}$$

Pierwiastek może być zapisany z czynnikiem

$$ \class{violet}{\class{moro}{a}\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}}$$ $$ \class{violet}{\class{moro}{a}\sqrt[\class{orange}{n}]{\frac{\class{green}{b}}{\class{blue}{c}}}}= \class{violet}{\frac{\class{moro}{a}\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{blue}{c}}}} $$ $$ \class{violet}{\frac{\class{moro}{a}\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}}{\class{blue}{c}}}= \class{violet}{\frac{\class{moro}{a}}{\class{blue}{c}}\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}} $$ dla $$ \class{violet}{\class{blue}{c}\not=0}$$

Pierwiastki o tym samym stopniu i liczbie podpierwiastkowej możemy dodawać i odejmować

$$ \class{violet}{\class{moro}{a}\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}+\class{blue}{c}\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}}= \class{violet}{(\class{moro}{a}+\class{blue}{c})\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}} $$ $$ \class{violet}{\class{moro}{a}\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}-\class{blue}{c}\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}}= \class{violet}{(\class{moro}{a}-\class{blue}{c})\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}} $$

Pamiętaj, że każda równość działa w obie strony.



Przykład 1. $$ \class{violet}{4^{\frac{1}{2}}=\sqrt[]{4}=2} $$ Przykład 2. $$ \class{violet}{2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}} $$ Przykład 3. $$ \class{violet}{\sqrt[]{\frac{3}{5}}\cdot\sqrt[]{\frac{3}{5}}= \sqrt[]{\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}}= \sqrt[]{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}} $$ Przykład 4. $$ \class{violet}{\sqrt[3]{\frac{5}{27}}= \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{27}}= \frac{\sqrt[3]{5}}{3}= \frac{1}{3}\sqrt[3]{5} }$$ Przykład 5. $$ \class{violet}{\sqrt[]{\frac{32}{5}}= \frac{\sqrt[]{16\cdot 2}}{\sqrt{5}}= \frac{4\sqrt[]{2}}{\sqrt{5}}= 4\sqrt[]{\frac{2}{5}} } $$ Przykład 6. $$ \class{violet}{4\sqrt[]{\frac{1}{3}}+\sqrt[]{\frac{1}{3}}=5\sqrt[]{\frac{1}{3}} } $$ Przykład 7. $$ \class{violet}{\sqrt[]{6\frac{2}{5}}-\sqrt[]{\frac{2}{5}}=\sqrt[]{\frac{32}{5}}-\sqrt[]{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} } $$ Odejmując ułamki o tych samych mianownikach, mianownik pozostawiamy bez zmian i odejmujemy liczniki. Ponieważ w licznikach pierwiastki nie mają tej samej liczby podpierwiastkowej nie możemy ich odjąć. Możemy jednak wyciągnąć czynnik przed znak pierwiastka pierwszego licznika. $$ \class{violet}{\frac{\sqrt{16\cdot2}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt[]{2}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} }$$ Liczby podpierwiastkowe w licznikach są teraz takie same, więc możemy odjąć ułamki. $$ \class{violet}{\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}}= \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}= 3\sqrt[]{\frac{2}{5}} }$$ Przykład 8.
Powyższy przykład możemy też zapisać i obliczyć inaczej (w sposób skrócony) $$ \class{violet}{\sqrt[]{6\frac{2}{5}}-\sqrt[]{\frac{2}{5}}=\sqrt[]{\frac{32}{5}}-\sqrt[]{\frac{2}{5}} } $$ Liczby podpierwiastkowe nie są takie same, więc nie możemy teraz odjąć pierwiastków. Możemy jednak wyciągnąć czynnik przed znak pierwszego pierwiastka. $$ \class{violet}{\sqrt[]{\frac{16\cdot2}{5}}-\sqrt[]{\frac{2}{5}}=4\sqrt[]{\frac{2}{5}}-\sqrt[]{\frac{2}{5}}= 3\sqrt[]{\frac{2}{5}}} $$



Usuwanie niewymierności mianownika.

Jeżeli w mianowniku ułamka jest pierwiastek niewymierny, musimy usunąć niewymierność mianownika. Niewymierności mianownika możemy się pozbyć mnożąc licznik i mianownik przez taki pierwiastek, który w iloczynie z mianownikiem da liczbę wymierną. Pierwiastki niewymierne to np. $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\ldots,$ lub $\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{6},\ldots,$ itd.

Dla pierwiastka kwadratowego (stopień równy 2), wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez ten pierwiastek. $$ \class{violet}{\sqrt[]{\frac{\class{moro}{a}}{\class{green}{b}}}}= \class{violet}{\frac{\sqrt[]{\class{moro}{a}}}{\sqrt[]{\class{green}{b}}}}\cdot \class{violet}{\frac{\sqrt[]{\class{green}{b}}}{\sqrt[]{\class{green}{b}}}}= \class{violet}{\frac{\sqrt[]{\class{moro}{a}\cdot\class{green}{b}}}{\class{green}{b}}}$$ dla $$ \class{violet}{\class{green}{b}\not=0}$$ Ponieważ $\class{violet}{\frac{\sqrt[]{\class{green}{b}}}{\sqrt[]{\class{green}{b}}}=1}$ więc przemnożenie przez ten czynnik nie wpłynie w konsekwencji na wynik.
Dla pierwiastka wyższego stopnia (niż kwadratowy) możemy skorzystać z wyszukiwania wymierności mianownika przez rozłożenie na czynniki pierwsze lub skorzystać ze wzoru: $$ \class{violet}{\frac{\class{moro}{a}}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}}}= \class{violet}{\frac{\class{moro}{a}}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b}}}}\cdot \class{violet}{\frac{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b^{\class{orange}{(n-1)}}}}}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b^{\class{orange}{(n-1)}}}}}}=\class{violet}{\frac{\class{moro}{a}\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b^{\class{orange}{(n-1)}}}}}{\class{green}{b}}} $$ dla $$ \class{violet}{\class{green}{b}\not=0}$$ Ponieważ $\class{violet}{\frac{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b^{\class{orange}{(n-1)}}}}}{\sqrt[\class{orange}{n}]{\class{green}{b^{\class{orange}{(n-1)}}}}}=1}$ więc przemnożenie przez ten czynnik nie wpłynie w konsekwencji na wynik.

Przykład 1. $$ \class{violet}{\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} } $$ Przykład 2. $$ \class{violet}{\sqrt{2\frac{2}{7}}=\sqrt{\frac{16}{7}}=\frac{4}{\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{7}}{7} } $$ Przykład 3. $$ \class{violet}{4\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= \frac{4\sqrt{10}}{5} }$$ Przykład 4. $$ \class{violet}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}= \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{2^{(3-1)}}}{\sqrt[3]{2^{(3-1)}}}= \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}}= \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}}= \frac{\sqrt[3]{4}}{2} } $$ Przykład 5. $$ \class{violet}{\sqrt[4]{2\frac{2}{7}}= \sqrt[4]{\frac{16}{7}}= \frac{2}{\sqrt[4]{7}}\cdot\frac{\sqrt[4]{7^{(4-1)}}}{\sqrt[4]{7^{(4-1)}}}= \frac{2\sqrt[4]{7^3}}{\sqrt[4]{7^4}}= \frac{2\sqrt[4]{7^3}}{7^{\frac{4}{4}(=1)}}=\frac{2\sqrt[4]{343}}{7} } $$ Powyższy zapis został wydłużony w celu zobrazowania i wyjaśnienia wykonywanych działań. Do obliczeń możemy zapisać to krócej (zgodnie ze wzorem). $$ \class{violet}{\sqrt[4]{2\frac{2}{7}}= \sqrt[4]{\frac{16}{7}}= \frac{\sqrt[4]{16}\sqrt[4]{7^3}}{7}= \frac{2\sqrt[4]{343}}{7} } $$