Potęgowanie ułamków

Potęga o wykładniku naturalnym.

Potęgowanie jest to skrócony zapis mnożenia jednakowych czynników.

$$ \Large{\class{moro}{a^{\class{orange}{n}}}=\class{violet}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a }_{\class{orange}{n}-czynników}}}$$ gdzie $$ \Large{\class{moro}{a}\class{violet}{\text{-podstawa potęgi}}} $$ $$ \Large{\class{orange}{n}\class{violet}{\text{-wykładnik potęgi}}} $$

Dlatego zamiast zapisywać $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$, możemy zapisać $2^6$.

Przykład 1. $$ \large{\class{violet}{3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81}} $$ Przykład 2. $$ \large{\class{violet}{2,5^3=2,5\cdot 2,5\cdot 2,5=15,625}} $$ Przykład 3. $$ \large{\class{violet}{\Biggl(\frac{\class{violet}{3}}{\class{violet}{5}}\Biggr)^2= \frac{\class{violet}{3}}{\class{violet}{5}}\cdot \frac{\class{violet}{3}}{\class{violet}{5}}=\frac{\class{violet}{9}}{\class{violet}{25}} }}$$ Przykład 4. $$ \large{\class{violet}{\Biggl(\class{violet}{1}\frac{\class{violet}{3}}{\class{violet}{4}}\Biggl)^2= \Biggl(\frac{\class{violet}{7}}{\class{violet}{4}}\Biggl)^2=\frac{\class{violet}{7}}{\class{violet}{4}}\cdot \frac{\class{violet}{7}}{\class{violet}{4}}=\frac{\class{violet}{49}}{\class{violet}{16}}=\class{violet}{3}\frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{16}}}}$$ Zobacz jak zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy

Podnosząc do potęgi liczbę dodatnią w wyniku otrzymamy zawsze liczbę dodatnią.
Podnosząc do potęgi liczbę ujemną znak wyniku zależy od tego, czy wykładnik potęgi jest liczbą parzystą czy nieparzystą.

Podnosząc liczbę ujemną do potęgi o parzystym wykładniku w wyniku otrzymamy liczbę dodatnią $$ \huge{\class{violet}{(-) \cdot (-)}= \class{moro}{(+)}}$$ więc $$ \Large{\class{violet}{(-1)}^{\class{orange}{2}}=\class{violet}{(-1) \cdot (-1)}= \class{moro}{1}}$$
Podnosząc liczbę ujemną do potęgi o nieparzystym wykładniku w wyniku otrzymamy liczbę ujemną $$ \huge{\class{violet}{(-) \cdot (-) \cdot (-)}= \class{violet}{(+) \cdot (-)}=\class{moro}{(-)}}$$ więc $$ \Large{\class{violet}{(-1)}^{\class{orange}{3}}=\class{violet}{(-1) \cdot (-1)\cdot (-1)}= \class{moro}{-1}}$$

Przykład 1. $$ \large{\class{violet}{(-2)^4=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16}} $$ Przykład 2. $$ \large{\class{violet}{(-1,4)^3=(-1,3)\cdot (-1,3)\cdot (-1,3)=-2,197}} $$ Przykład 3. $$ \large{\class{violet}{\Biggl(-\frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{2}}\Biggr)^2= \Biggl(-\frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{2}}\Biggr)\cdot \Biggl(-\frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{2}}\Biggr)=\frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{4}} }}$$ Przykład 4. $$ \large{\class{violet}{\Biggl(\class{violet}{-1}\frac{\class{violet}{2}}{\class{violet}{3}}\Biggl)^3= \Biggl(-\frac{\class{violet}{5}}{\class{violet}{3}}\Biggl)^3=\Biggl(-\frac{\class{violet}{5}}{\class{violet}{3}}\Biggl)\cdot \Biggl(-\frac{\class{violet}{5}}{\class{violet}{3}}\Biggl)\cdot \Biggl(-\frac{\class{violet}{5}}{\class{violet}{3}} \Biggl) =-\frac{\class{violet}{125}}{\class{violet}{27}}=-\class{violet}{4}\frac{\class{violet}{19}}{\class{violet}{27}}}}$$ Zobacz jak zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy

Uważaj na przypadki, gdy znak minus jest przed nawiasem lub brak jest nawiasu, a wykładnik potęgi jest przy liczbie!

Przykład 1. $$ \large{\class{violet}{-2^4=-(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)=-16}} $$ Przykład 2. $$ \large{\class{violet}{-\Biggl(\frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{2}}\Biggr)^2= -\Biggl(\frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{2}}\cdot \frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{2}}\Biggr) =-\frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{4}} }}$$ Przykład 3. $$ \large{\class{violet}{-\frac{\class{violet}{3}^2}{\class{violet}{4}}= -\frac{\class{violet}{3\cdot 3}}{\class{violet}{4}}=-\frac{\class{violet}{9}}{\class{violet}{4}}=-2\frac{\class{violet}{1}}{\class{violet}{4}} }}$$


Dowolna liczba podniesiona do 0 w wyniku daje 1. $$ \Huge{\class{moro}{a^{\class{orange}{0}}}=\class{violet}{1}}$$
Dowolna liczba podniesiona do potęgi 1 w wyniku daje tą samą liczbę. $$ \Huge{\class{moro}{a^{\class{orange}{1}}}=\class{moro}{a}}$$

Przykład 1. $$ \class{violet}{\biggl(\class{violet}{5}\frac{\class{violet}{3}}{\class{violet}{4}}\biggl)^0}=\class{violet}{1} $$ Przykład 2. $$ \class{violet}{\biggl(\frac{\class{violet}{2}}{\class{violet}{3}}\biggr)^1}= \class{violet}{\frac{\class{violet}{2}}{\class{violet}{3}}} $$


Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym.

Podnosząc dowolną liczbę lub ułamek do potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym, odwracamy podstawę potęgi i podnosimy ją do wykładnika dodatniego.

$$ \class{moro}{a^{\class{orange}{-n}}}=\class{violet}{\frac{1}{\class{moro}{a^{\class{orange}{n}}}}} $$
$$ \class{violet}{\biggl(\frac{\class{moro}{a}}{\class{blue}{b}}\biggr)^{\class{orange}{-n}}}= \class{violet}{\biggl(\frac{\class{blue}{b}}{\class{moro}{a}}\biggr)^{\class{orange}{n}}} $$

Przykład 1. $$ \class{moro}{2^{\class{orange}{-4}}}=\class{violet}{\frac{1}{\class{moro}{2^{\class{orange}{4}}}}}= \class{violet}{\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}=\class{violet}{\frac{1}{16}} $$ Przykład 2. $$ \class{violet}{\biggl(\frac{\class{moro}{3}}{\class{blue}{5}}\biggr)^{\class{orange}{-3}}}= \class{violet}{\biggl(\frac{\class{blue}{5}}{\class{moro}{3}}\biggr)^{\class{orange}{3}}} = \class{violet}{\frac{5}{3}\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{5}{3}}=\class{violet}{\frac{125}{27}}=\class{violet}{4\frac{19}{27}}$$ Przykład 3. $$ \class{moro}{0,3^{\class{orange}{-2}}}=\class{violet}{\biggl(\frac{\class{moro}{3}}{10}\biggr)^{\class{orange}{-2}}}= \class{violet}{\biggl(\frac{10}{\class{moro}{3}}\biggr)^{\class{orange}{2}}}=\class{violet}{\frac{10}{3} \cdot \frac{10}{3}}=\class{violet}{\frac{100}{9}}=\class{violet}{11\frac{1}{9}} $$ Przykład 4. $$ \class{violet}{\biggl(-\class{moro}{2}\frac{\class{moro}{1}}{\class{violet}{2}}\biggr)^{\class{orange}{-2}}}= \class{violet}{\biggl(-\frac{\class{moro}{5}}{\class{violet}{2}}\biggr)^{\class{orange}{-2}}}= \class{violet}{\biggl(-\frac{\class{violet}{2}}{\class{moro}{5}}\biggr)^{\class{orange}{2}}}= \class{violet}{\biggl(-\frac{\class{violet}{2}}{\class{violet}{5}}\biggr)\cdot \biggl(-\frac{\class{violet}{2}}{\class{violet}{5}}\biggr)}= \class{violet}{\frac{\class{violet}{4}}{\class{violet}{25}}} $$

Dowolna liczba podniesiona do potęgi -1 w wyniku daje odwrotność tej liczby. $$ \class{moro}{a^{\class{orange}{-1}}}=\class{violet}{\frac{1}{\class{moro}{a}}}$$ $$ \class{violet}{\biggl(\frac{\class{moro}{a}}{\class{blue}{b}}\biggr)^{\class{orange}{-1}}}= \class{violet}{\frac{\class{blue}{b}}{\class{moro}{a}}} $$ dla $$ \class{violet}{\class{moro}{a},\class{blue}{b}\not= 0} $$