W matematyce i nie tylko często naprzemiennie wykorzystujemy ułamki zwykłe i dziesiętne. W życiu codziennym ułamki najczęściej wykorzystywane są do podawania miar (np. w przepisach kucharskich: 0,5 litra mleka, $\frac{1}{3}$ kostki masła; w hydraulice: 1,5 metra rury $\frac{3}{4}$ cala itp.). Problem może się pojawić wówczas, gdy potrzebujemy wykonać jakieś działania na ułamkach. Wtedy najlepiej, by wszystkie ułamki były ułamkami zwykłymi lub dziesiętnymi. Do tego będzie potrzebna nam wiedza jak zamieniać ułamki.

Jak zmienić ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe?


Liczymy ilość miejsc

Aby przekształcić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły właściwy lub niewłaściwy w pierwszej kolejności musimy policzyć ilość miejsc po przecinku.

Na przykład:

  • w liczbie 0,5 jest jedno (,5) miejsce po przecinku;
  • w liczbie 0,35 są dwa (,35) miejsca po przecinku;
  • w liczbie 1,625 są trzy (,625) miejsca po przecinku.


    • Ustalamy mnożnik

    W kolejnym kroku musimy ustalić mnożnik, dzięki któremu pozbędziemy się ułamka dziesiętnego.

    Możemy to zrobić na dwa sposoby:

    Sposób 1

    Naszym mnożnikiem będzie liczba, w której na pierwszym miejscu jest 1 i tyle zer, ile jest miejsc po przecinku.

    We wcześniejszym kroku policzyliśmy już ilość miejsc po przecinku dla konkretnych przykładów, a więc:

  • dla 0,5 mnożnikiem jest 1 i jedno zero czyli liczba 10
  • dla 0,35 mnożnikiem jest 1 i dwa zera czyli liczba 100
  • dla 1,625 mnożnikiem jest 1 i trzy zera czyli liczba 1000

    • Sposób 2

    Naszym mnożnikiem będzie potęga liczby 10, w której wykładnikiem jest ilość miejsc po przecinku:

  • dla 0,5 mnożnikiem jest 10 podniesione do 1 czyli 101=10
  • dla 0,35 mnożnikiem jest 10 podniesione do 2 czyli 102=100
  • dla 1,625 mnożnikiem jest 10 podniesione do 3 czyli 103=1000


    • Przekształcamy ułamek

    Teraz wystarczy, że pomnożymy nasz ułamek dziesiętny przez iloraz ustalonego mnożnika. Iloraz mnożnika zapisujemy w postaci ułamka zwykłego.

    Korzystając z wcześniejszych przykładów otrzymujemy: $$\require{cancel}\class{violet}{0,5}=\class{violet}{0,5}\cdot\frac{\class{brown}{1}\class{red}{0}}{\class{brown}{1}\class{red}{0}}=\frac{\class{violet}{0,5}\cdot\class{brown}{1}\class{red}{0}}{\class{brown}{1}\class{red}{0}}=\class{violet}{\frac{\cancel{5}^{1}}{\cancel{10}^{2}}}=\class{violet}{\frac{1}{2}}$$ $$\class{violet}{0,35}=\class{violet}{0,35}\cdot\frac{\class{brown}{1}\class{red}{00}}{\class{brown}{1}\class{red}{00}}=\frac{\class{violet}{0,35}\cdot\class{brown}{1}\class{red}{00}}{\class{brown}{1}\class{red}{00}}=\class{violet}{\frac{\cancel{35}^{7}}{\cancel{100}^{20}}}=\class{violet}{\frac{7}{20}}$$ $$\require{cancel}\class{violet}{1,625}=\frac{\class{violet}{1,625}\cdot\class{brown}{1}\class{red}{000}}{\class{brown}{1}\class{red}{000}}=\class{violet}{\frac{\cancel{1625}^{13}}{\cancel{1000}^{8}}}=\class{violet}{\frac{13}{8}}=\class{violet}{1\frac{5}{8}}$$



    Inne przykłady
    Przykład 1.
  • 2,34=
      w liczbie 2,34 są 2 miejsca po przecinku, więc mnożnikiem będzie liczba 100 $$\class{violet}{2,34}=\frac{\class{violet}{2,34}\cdot\class{brown}{1}\class{red}{00}}{\class{brown}{1}\class{red}{00}}=\class{violet}{\frac{234}{100}}$$ ułamek możemy skrócić dzieląc licznik i mianownik przez 2 $$\class{violet}{\frac{234}{100}}=\class{violet}{\frac{\cancel{234}^{117}}{\cancel{100}^{50}}}=\class{violet}{\frac{117}{50}}$$ licznik jest większy od mianownika, więc ułamek jest ułamkiem niewłaściwym, dlatego możemy zamienić go na liczbę mieszaną. W tym celu dzielimy licznik przez mianownik. W liczniku pozostawiamy resztę z dzielenia, a mianownik bez zmian. $$ \class{violet}{117:\class{orange}{50}=\class{moro}{2} \text{ reszta }\class{green}{17} } $$ $$\class{violet}{\frac{117}{50}}=\class{violet}{\class{moro}{2}\frac{\class{green}{17}}{\class{orange}{50}}}$$ Odpowiedź: $$\class{violet}{2,34}=\class{violet}{\frac{117}{50}}=\class{violet}{2\frac{17}{50}}$$


    • Przykład 2.
  • 0,4825=
      w liczbie 0,4825 są 4 miejsca po przecinku, więc mnożnikiem będzie liczba 10000 $$\class{violet}{0,4825}=\frac{\class{violet}{0,4825}\cdot\class{brown}{1}\class{red}{0000}}{\class{brown}{1}\class{red}{0000}}=\class{violet}{\frac{4825}{10000}}$$ ułamek możemy skrócić dzieląc licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik (NWD) wynoszący dla tych liczb 25 $$\class{violet}{\frac{4825}{10000}}=\class{violet}{\frac{\cancel{4825}^{193}}{\cancel{10000}^{400}}}=\class{violet}{\frac{193}{400}}$$ Odpowiedź: $$\class{violet}{0,4825}=\class{violet}{\frac{193}{400}}$$
    •

    Przykład 3.
  • 0,125=
      w liczbie 0,125 są 3 miejsca po przecinku, więc mnożnikiem będzie liczba 1000 $$\class{violet}{0,125}=\frac{\class{violet}{0,125}\cdot\class{brown}{1}\class{red}{000}}{\class{brown}{1}\class{red}{000}}=\class{violet}{\frac{125}{1000}}$$ ułamek możemy zredukować dzieląc licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik (NWD) wynoszący dla tych liczb 125 $$\class{violet}{\frac{125}{1000}}=\class{violet}{\frac{\cancel{125}^{1}}{\cancel{1000}^{8}}}=\class{violet}{\frac{1}{8}}$$ Odpowiedź: $$\class{violet}{0,125}=\class{violet}{\frac{1}{8}}$$
    •

    Przykład 4.
  • 0,9=
      w liczbie 0,9 jest 1 miejsce po przecinku, więc mnożnikiem będzie liczba 10 $$\class{violet}{0,9}=\frac{\class{violet}{0,9}\cdot\class{brown}{1}\class{red}{0}}{\class{brown}{1}\class{red}{0}}=\class{violet}{\frac{9}{10}}$$ Odpowiedź: $$\class{violet}{0,9}=\class{violet}{\frac{9}{10}}$$
    •

    Przykład 5.
  • 3,08=
      w liczbie 3,08 są 2 miejsca po przecinku, więc mnożnikiem będzie liczba 100 $$\class{violet}{3,08}=\frac{\class{violet}{3,08}\cdot\class{brown}{1}\class{red}{00}}{\class{brown}{1}\class{red}{00}}=\class{violet}{\frac{308}{100}}$$ ułamek możemy zredukować dzieląc licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik (NWD) wynoszący dla tych liczb 4 $$\class{violet}{\frac{308}{100}}=\class{violet}{\frac{\cancel{308}^{77}}{\cancel{100}^{25}}}=\class{violet}{\frac{77}{25}}$$ licznik jest większy od mianownika, więc ułamek jest ułamkiem niewłaściwym, dlatego możemy zamienić go na liczbę mieszaną. W tym celu dzielimy licznik przez mianownik. W liczniku pozostawiamy resztę z dzielenia, a mianownik bez zmian. $$ \class{violet}{77:\class{orange}{25}=\class{moro}{3} \text{ reszta }\class{green}{2} } $$ $$\class{violet}{\frac{77}{25}}=\class{violet}{\class{moro}{3}\frac{\class{green}{2}}{\class{orange}{25}}}$$ Odpowiedź: $$\class{violet}{3,08}=\class{violet}{\frac{77}{25}}=\class{violet}{3\frac{2}{25}}$$